会社帰りの電車の中で、城南予備校の車内広告に目が止まりました。




「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」





東大の過去問だそうです。

・・・ほう、おもしろい。やってやろうじゃないか。


脳内証明＆計算実行中・・・。



円に内接する正二十四角形を考える。
円の中心から各頂点に補助線を引くと、正二十四角形は24個の頂角15°の二等辺三角形に分割される。
円の面積はこの正二十四角形（24個の二等辺三角形)より大きいので、

π×r×r  > 24×( r×r×sin15°÷2)　--- ①

倍角の公式より、
cos30° = cos15°cos15° - sin15°sin15°
　　　　　　= (1 - sin15°sin15°) - sin15°sin15°
　　　　　　= 1 - 2sin15°sin15°
∴ sin15° = sqrt( 2 - sqrt(3)) / 2

よって①は
π > 6 sqrt(2- sqrt(3))
    > 6 sqrt(2 - 1.732)
    = 6 sqrt(0.268)
    > 6 × 0.51
    = 3.06

よって円周率は3.05より大きい。




とりあえず制限時間10分で解く事が出来ました。



うん、まだまだイケるじゃないですか。僕の脳みそは。